Fourier Transform
■ 퓨리에 정리
- 모든 주기신호 및 비주기 신호는 기준주파수를 갖는 파형과 기준주파수의 정수배를 갖
는 파형들의 합으로 표현 할 수 있다.
■ 퓨리에 변환
- 비주기신호는 연속적인 무수히 많은 주파수의 정현파 성분의 합, 적분으로 나타낼 수 있
다.
비주기신호는 무한대의 주기를 갖는 신호라고 생각하고 주기신호에 대한 퓨리에 급수로
부터 유도 한다.
연속 비주기 신호의 주파수영역에서의 해석
■ 일반적인 경우
1) 정 의
1차원 함수 f (x)의 퓨리에 변환은 다음과 같이 정의한다.
[ f (x)] ≡ F(u) = (1)
역(Inverse) 변환은 다음과 같이 정의한다.
f (x) = -[ f (x)] = (2)
여기서 지수에 2π를 포함시키는 관습을 따랐다. 이는 회절에서 보통 사용되는 관습으로 식(1)나 (2)에 상수항의 곱을 생각할 필요가 없어 편리하다. 고체물리에서는 다른 관습으로, 지수에서 2π를 생략한다. 그러면, 상수로 포함시켜야하는데, 위 식 중 하나에 1/2π를 첨가 하거나 양 적분식에 을 곱하여야 한다. 1차원이상의 차원에서는 식(1)의 벡터 형태를 사용한다.
F (u) = (3)
벡터 u는 “ 퓨리에 변환 공간 ”에서 벡터로 간주할 수 있다. 예를 들어, 3차원 공간의 경우, 벡터 r은 x, y, z좌표를 갖고, u는 u, v, w 좌표를 갖는다고 하자. 그러면,
u ? r = ux ± vy ± wz 이므로
F (u, v, w) =
exp [2π i (ux ± vy ± wx)] dx dy dz (4a)
그리고
f (x, y, z) =
e…(생략)
2) 퓨리에 변환의 특성
식(1)에서 복소수 지수함수를 다음과 같이 쓰면,
3) 곱과 콘볼루션 공식
4) 공간과 시간
|
[ f (x)*g (x)] = F (u) G(u) (11)
즉, 두 함수의 콘볼루션에 대한 Fourier 변환은 각각의 함수의 Fourier 변환 값의 곱과 같다. 여기서, 실공간은 소문자를, Fourier 공간은 대문자를 쓰는 관습을 따랐다.
식(11)에 대한 증명은 x - X = y로 변환시키면,
=
=
= F (u) G(u)
4) 공간과 시간
공간분포 f (r)과 회절진폭, F (u)관계와 더불어 퓨리에 변환은 시간의 함수, f (t)와 주파수 분포와 관계를 맺어준다. 따라서,
(12)
와 그리고,
(13)
여기서 우리는 각도 주파수 ω대신에 주파수 ν를 사용하였다. 음의 주파수는 후진하는 파를 나타낸다. 따라서, 퓨리에 변환은 공간과 시간에 대하여 나타낼 수 있다.
x, t [ f (x, y, z, t)] = F (u, v, w, ν)
=