경문사 집합론 , set theory 솔루션 연습문제 (구매자 판매중지)

Exercise1.8
4. 모든 자연수 에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.
(참)
일 때, 참이라 가정하고 양변에 을 더하면,
∴ 일 때에도 주어진 등식 성립
따라서, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 에 관하여 주어진 등식은 성립한다.
8. 다음 일반 드 모르간의 법칙을 증명하여라.

(a) ~(p1∧p2∧ … ∧pn) ≡ ~p1∨~p2∨ … ∨~pn

n=1,2 일 때, 성립 (by De M.)
n=k 일 때, 참이라 가정하면, n=k+1일 때, 식은 다음과 같다
~{(p1∧p2∧ … ∧pk)∧pk+1} ≡ ~(p1∧p2∧ … ∧pk)∨~pk+1 (by De M.)
≡~p1∨~p2∨ … ∨~pk∨~pk+1 (n=k를 참이라 가정)
∴n=k+1일 때에도 주어진 등식 성립
따라서, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 관하여 주어진 등식은 성립한다.

(b) ~(p1∨p2∨ … ∨pn) ≡ ~p1∧~p2∧ … ∧~pn

(a)를 이용하여 증명하면,
~{(~p1)∧(~p2)∧ … ∧(~pn)} ≡ ~(~p1)∨~(~p2)∨ … ∨~(~pn) (by De M.)
≡ p1∨p2∨ … ∨pn (by D.N.)
~(p1∨p2∨ … ∨pn) ≡ ~{~(~p1∧~p2∧ … ∧~pn)} (위의 식)
≡ ~p1∧~p2∧ … ∧~pn (by D.N.)
∴(b) : true
9. 다음 일반분배법칙을 증명하여라.
(a) p∧(q1∨q2∨ … ∨qn) ≡ (p∧q1)∨(p∧q2)∨ … ∨(p∧qn)
n=1,2 일 때, 성립 (by Dist.)
n=k 일 때, 참이라 가정하면, n=k+1일 때, 식은 다음과 같다.
p∧{(q1∨q2∨ … ∨qk)∨qk+1} ≡ p∧(q1∨q2∨ … ∨qk)∨(p∧qk+1) (by Dist.)
≡ {p∧(q1∨q2∨ … ∨qk)}∨(p∧qk+1)
≡ (p∧q1)∨(p∧q2)∨ … ∨(p∧qk) (n=k참이라 가정)

∴n=k+1일 때에도 주어진 등식 성립
따라서, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 관하여 주어진 등식은 성립한다.
(b) p∨(q1∧q2∧ … ∧qn) ≡ (p∨q1)∧(p∨q2)∧ … ∧(p∨qn)
n=1,2 일 때, 성립 (by Dist.)
n=k 일 때, 참이라 가정하면, n=k+1일 때, 식은 다음과 같다.
p∨{(q1∧q2∧ … ∧qk)∧qk+1} ≡ p∨(q1∧q2∧ … ∧qk)∧(p∨qk+1) (by Dist.)
≡ {p∨(q1∧q2∧ … ∧qk)}∧(p∨qk+1)
≡ (p∨q1)∧(p∨q2)∧ … ∧(p∨qk)∧(p∨qk+1)
(n=k참이라 가정)
∴n=k+1일 때에도 주어진 등식 성립
따라서, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 n에 관하여 주어진 등식은 성립한다.
Contents

1. Elementary Logic

x1.1 Statements and Their Connectives

x1.2 Three More Connectives

x1.3 Tautology, Implication, and Equivalence

x1.4 Contradiction

x1.5 Deductive Reasoning

x1.6 Quanti¯cation Rules

x1.7 Proof of Validity

x1.8 Mathematical Induction

2. The Concept of Sets
x2.1 Sets and Subsets
x2.2 Speci¯cation of Sets
x2.3 Unions and Intersections
x2.4 Complements
x2.5 Venn Diagrams
x2.6 Indexed Families of Sets